Sponzen Ridder

dit is steeds meer een blog, dan wel een homepage

donderdag, mei 27, 2010

Paradox

Een mooie, die ik onder deze vorm nog niet kende:

Het is makkelijk om aan te tonen dat:
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6... = ln(2)
Als je de getallen in deze som herordent, dan krijg je
(1-1/2) -1/4 +(1/3-1/6) -1/8 + (1/5-1/10) ... = ln(2)
wat gelijk is aan
1/2 -1/4 +1/6 -1/8 +1/10 ... = ln(2)
Maar als je nu de oorspronkelijke oneindige som deelt door twee, dan krijg je ook:
1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 ... = ln(2)/2
Dus is ln(2)=ln(2)/2 ?!

Mijn studenten kennen natuurlijk het juiste antwoord. [link]


2 Comments:

At 10:39 p.m., Anonymous Een student said...

Komt het mischien doordat, bij de nieuwe rij, bij elke waarde van n een steeds groter wordend aantal termen die in de eerste rij wel voorkomen, in deze rij nog niet voorkomen.
Ze komen afzonderlijk wel allemaal voor, maar pas voor een grotere n-waarde, waarbij je al veel meer andere termen mist.

als je de eerste reeks schrijft als:
[sommatieteken]( 1/(4n-3) - 1/(4n-2) + 1/(4n-1) - 1/(4n) )
en de tweede rij als:
[sommatieteken]( 1/2n-1 - 1/4n-2 - 1/4n )

zie je dat het verschil tussen deze rijen gelijk is aan
[sommatieteken] ( 1/2n - 1/(2n-1) + 1/(4n-3) + 1/(4n-1) )

Het zijn met andere woorden gewoon 2 verschillende rijen.

 
At 9:00 a.m., Blogger Sponzen ridder said...

Toch komen er exact dezelfde getallen in voor, maar de clou zit idd. ergens in het feit dat je de getallen reorganiseert (en sommige heel ver - maar niet oneindig ver - naar achteren zet).

 

Een reactie posten

Links to this post:

Een link maken

<< Home